a) Dễ thấy A, H, K thẳng hàng.

Ta có \(\widehat{KCB}=\widehat{HCB}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{KAB}\).

Suy ra tứ giác ACKB nội tiếp.

b) \(\widehat{ABD}=\widehat{AA'C};\widehat{ADB}=\widehat{ACA'}=90^o\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AA'C\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{A'AC}\)

\(\Rightarrow\widehat{AA'C}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{AEF}\Rightarrow AA'\perp EF\)

c) Ta có BH // A'C (do cùng vuông góc với AC), CH // A'B (do cùng vuông góc với AB) nên tứ giác BHCA' là hình bình hành. Suy ra H, I, A' thẳng hàng.

d) Do OI là đường trung bình của tam giác A'AH nên OI // AH,\(\dfrac{OI}{AH}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{IG}{AG}\Rightarrow\) H, G, O thẳng hàng và \(\dfrac{OG}{HG}=\dfrac{1}{2}\). Từ đó \(S_{AHG}=2S_{AOG}\) (đpcm) 

a: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ACB+90 độ-góc ABC=góc BAC

=>góc BHC+góc BAC=180 độ

H đối xứng K qua BC

=>BH=BK và CH=CK

Xét ΔBHC và ΔBKC có

BH=BK

CH=CK

BC chung

=>ΔBHC=ΔBKC

=>góc BKC=góc BHC

=>góc BKC+góc BAC=180 độ

=>ABKC nội tiếp

b: Gọi Ax là tiếp tuyến của (O) tại A

=>góc xAC=góc ABC=góc AEF

=>EF//Ax

=>EF vuông góc OA

c: Xét tứ giác BHCA' có

BH//CA'

BA'//CH

=>BHCA' là hbh

=>H,I,A' thẳng hàng

a: góc HDC+góc HEC=180 độ

=>HDCE nội tiếp

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

c: góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

góc FEH=góc BAD

góc DEH=góc FCB

mà góc BAD=góc FCB

nên góc FEH=góc DEH

=>EH là phân giác của góc DEF

a) Xét tứ giác BFEC có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) cùng nhìn cạnh BC

Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét tứ giác BCEF có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BFC}\) và \(\widehat{BEC}\) là hai góc đối

Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét tứ giác BHCK có 

I là trung điểm của đường chéo BC(gt)

I là trung điểm của đường chéo HK(H đối xứng với K qua I)

Do đó: BHCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

hay BH//CK

Suy ra: BE//CK

mà BE⊥AC(gt)

nên CK⊥AC

⇔C nằm trên đường tròn đường kính AK

mà C,A cùng thuộc (O)

nên AK là đường kính của (O)

hay A,O,K thẳng hàng(đpcm)

a: góc AEB=góc ADB=90 độ

=>AEDB nội tiếp

b,c: M ở đâu vậy bạn?

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn

BE là đường cao ∆ ABC  ⇒ B E ⊥ A C ⇒ A E H ^ = 90 0

CF là đường cao  ∆ ABC  ⇒ C F ⊥ A B ⇒ A F H ^ = 90 0

Tứ giác AEHF có A E H ^ + A F H ^ = 180 0  nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn

2) Chứng minh CE.CA = CD.CB

∆ ADC và  ∆ BEC có

A D C ^ = B E C ^ = 90 0  (AD,BE là các đường cao)

C ^  chung

Do đó  ∆ ADC ~ ∆ BEC(g-g)

⇒ D C E C = A C B C ⇒ D C . B C = C E . A C